Lien vers les suites géométriques - Tableur

D'après Bac, métropole juin 2022

Des biologistes étudient l'évolution d'une population d'insectes dans un jardin botanique. L'observation de l'évolution de ces populations d'insectes en laboratoire, en l'absence de tout prédateur, montre que le nombre d'insectes augmente de 60 % chaque mois.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{N}\) qui à chaque mois associe le nombre d'insectes \(f(n)\) dans ce jardin botanique. Au début de l'étude, la population est de 100 000 insectes ; on a donc \(f(0)=100 \ 000\).

1. a. Que représente le nombre \(f(1)\) ?
    b. Justifier que \(f(1)=106 \ 000\).
2. Calculer \(f(2)\) et donner une interprétation de ce nombre.
3. La feuille de calcul suivante donne les valeurs de \(f(n)\) pour \(n\) compris entre 0 et 12.

Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B3, à étendre jusqu'en B14, afin de calculer les valeurs de \(f(n)\) ?
4. Pour \(n\) un entier naturel fixé.
    a. Quelle relation peut-on établir entre \(f(n+1)\) et \(f(n)\) ?
    b. Conjecturer alors l'expression de \(f(n)\) en fonction de \(n\).
5. Pour préserver l'équilibre du milieu naturel, le nombre d'insectes ne doit pas dépasser 200 000. On considère la fonction limite ci-dessous écrit en langage Python qui affiche le mois à partir duquel le nombre d'insectes sera supérieur à 200 000.
1 def limite () :
2     f=100000
3     n=0
4     while f<200000 :
5         f=...
6         n=n+1
7     return (n)
    a. Quelle instruction faut-il mettre dans la ligne 5 ?
    b. Quel est le résultat affiché par l'algorithme ?